GEOMETRI TRANSFORMASI, KESEBANGUNAN, KONGRUENSI DAN PENGUBINAN

A.    Pengertian Transformasi Geometri

Pengertian transformasi geometri adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. Transformasi bisa juga dilakukan pada kumpulan titik yang membentuk bidang/bangun tertentu

B.     Jenis-Jenis Transformasi Geometri

a. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Bisa dikatakan translasi hanya memindahkan tanpa mengubah ukuran tanpa memutar. Kata kuncinya transformasi ke arah yang sama dan ke jarak yang sama. Yang berubah hanyalah posisinya.

Sifat – sifat dari Translasi :

1.      Tidak mengubah ukuran,

2.      Tidak memutar

3.      Searah dan jarak yang sama

b. Refleksi

Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi dengan memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat - sifat pencerminan pada cermin datar.

Sifat – sifat Refleksi :

1.      Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
• Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
• Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif

3.      Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.

4.      Berlawanan arah

5.      Bentuknya tidak berubah

6.      Ukuranya tidak berubah

c. Rotasi

 

Rotasi adalah memutar setiap titik pada bidang dengan menggunakan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar (jari-jari). Rotasi tidak mengubah ukuran benda sama sekali.  Kita rotasikan berlawanan arah jarum jam yaitu 90º dan searah jarum jam yaitu 90º dengan titik koordinat 0,0. Setelah kita rotasikan kita akan mengetahui titik koordinat yang baru.

Sifat – sifat Rotasi :

1.      Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.

2.      Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

3.      Ukuranya tidak berubah

d. Dilatasi (Perkalian)

Selain dipindah, dicerminkan, dan diputar, transformasi juga bisa berbentuk pembesaran atau pengecilan yang disebut dilatasi. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun dinamakan faktor dilatasi.

• Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar dan memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

Sifat - sifat Dilatasi :

1.      invers dari dilatasi AB --> A' B' adalah A' B' --> AB

2.      Dilatasi mempertahankan urutan, tetapi tidak mempertahankan ukuran.

3.      Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang di lanjutkan dengan dilatasi yang lain.
berarti, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' adalah dilatasi AB--> A''B''

4.      Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB-->AB

5.      Garis garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis garis invariant. Garis garis itu berpotongan pada satu titik atau sejajar

•  Perkalian atau dilatasi ini ditentukan oleh factor skala (k) dan pusat dilatasi.

          1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)
          2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)

KESEBANGUNAN DAN KONGRUENSI

A.    Kesebangunan

Dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat :

·         Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar.

·         Sisi – sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Kedua bangun di atas, ABCD dan KLMN  adalah dua bangun yang sebangun, karena memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

Pasangan sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama, yaitu:

-           Pasangan sisi AD dan KN =  

-           Pasangan sisi AB dan KL = 

-           Pasangan sisi BC dan LM =   

-           Pasangan sisi CD dan MN = 

Jadi,   

Besar sudut yang bersesuaian sama, yaitu : 

B.     Kongruensi

1.      Dua bangun dikatakan kongruen ( sama dan sebangun ) jika memenuhi syarat :

·         Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar

·         Sisi – sisi yang bersesuaian sama panjang

Pengubinan

Pengubinan adalah penyusunan daerah-daerah segi banyak yang sisinya berimpit sehingga membentuk bidang secara komplit (sempurna = tidak ada bagian yang tidak tertutup). Kita dapat membentuk ubin dengan segi empat. Setiap segiempat juga akan membentuk ubin pada bidang.

Terdapat 3 (tiga) macam pengubinan, yaitu:

1. Pengubinan Beraturan

Pengubinan beraturan (regular tessellation), adalah pengubinan dengan satu macam ubin  (poligon) beraturan yang semuanya kongruen.  Ada tiga macam pengubinan yang termasuk dalam kelompok ini, yang dinotasikan dengan: Gambar :

2. Pengubinan Semi Beraturan

Pengubinan semi beraturan (semi regular tessellation), yaitu pengubinan yang menggunakan dua atau lebih segi-n beraturan

Pada pengubunan ini setiap titik sudutnya :

·         Bersekutu tiga atau lebih poligon  beraturan 

·         Ada dua atau lebih jenis poligon yang  setiap jenisnya kongruen

·         Panjang sisi semua poligon sama 

·         Urutan siklis jenis poligon yang bersekutu  di setiap titik persekutuan, sama

Gambar :

.

3. Pengubinan setengah beraturan  campuran (demi-regular tesselation)

Pada kedua jenis pengubinan dengan ubin  beraturan terdahulu, terdapat kelompok poligon  yang sama di setiap titik persekutuannya. Pengubinana yang menggunakan bangun – bangun datar yang tidak beraturan.

Gambar :

Contoh Soal :

a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Kesebangunan pada Persegi Panjang

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui AB = 144 cm dan BC = 108 cm, persegi panjang ABCD, BCGF, dan EHGD merupakan persegi panjang-persegi panjang yang sebangun, tentukan luas daerah AFHE!

Pembahasan Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang BCGF, maka

Karena CD = AB = 144 cm dan CG = 81 cm, maka EH = GD = CD – CG = 144 – 81 = 63 cm. Diketahui ABCD juga sebangun dengan EHGD, maka didapatkan

Sehingga, FH = FG – HG = BC – HG = 108 – 47,75 = 60,25 cm. Diperoleh luas dari segi empat AFHE adalah EH × FH = 63 × 60,25 = 3.795,75 cm².

Contoh soal berikut, menggambarkan pertemuan tiga segitiga dan dua persegi.

(image credit: Wikimedia Commons)

Bagaimana membuat notasi vertex?
 

·        Pilih ubin untuk memulai
(contoh: persegi di kanan atas)

·        Dari situ bergerak searah jarum jam. Apa saja bentuknya?
(persegi, segitiga, segitiga, persegi, segitiga)

·        Ubah jadi angka. Berapa jumlah seginya?
(4, 3, 3, 4, 3)

 Maka dapat ditulis notasi vertex:
    4.3.3.4.3
 Supaya ringkas 3.3 bisa disingkat 3², maka hasil akhirnya…
    4.3².4.3

Notasi di atas sangat fleksibel. Meskipun begitu, sebelum lanjut, saya harus memberitahu: semua yang dibahas di tulisan ini bangun sama sisi.

Oleh karena itu konfigurasi vertex seperti 3⁶ harus dibaca “enam segitiga samasisi bertemu di satu titik”. Demikian juga 3³.4² berarti “tiga segitiga samasisi bertemu dua persegi”.

Kira-kira demikian penjelasan tentang vertex. Sekarang kita akan masuk topik selanjutnya, yakni uniformitas.